* Военный инженерно-космический университет им. А.Ф.Можайского

Полагаем заданными множество возможных ТС объекта, множество диагностических признаков, на котором все ТС попарно различимы, и множество интервалов вещественной числовой оси, каждый из которых характеризует возможный разброс j-го признака в i-м ТС. Измерительная информация с объекта поступает в виде зарегистрированных значений соответствующих признаков . Значения могут быть произвольными вещественными числами, равномерно распределенными по заданным интервалам .

В соответствии с используемой моделью диагностируемая система может находиться в одном из множества предполагаемых ТС, называемого фазовым состоянием (ФС) процесса диагностирования. Начальным ФС процесса диагностирования является все множество заданных ТС системы, которое обозначим через R, т.е. R = S. Конечными ФС являются одноэлементные множества , которые обозначим через R_i. Все остальные множества , содержащие два и более, вплоть до m, элементов обозначим через .

Проверку признака обозначим через и в дальнейшем будем называть просто проверкой . Подмножество допустимых для проверки признаков в ФС R_k обозначим через P _k и будем определять его из условия Для каждого признака выделим на вещественной числовой оси ряд подынтервалов , которые определим по формуле , где — множество индексов взаимно пересекающихся интервалов.

Исходом проверки в ФС R_k назовем событие, заключающееся в попадании измеренного значения признака в один из подынтервалов . Обозначим число возможных исходов проверки, равное числу выделенных подынтервалов, через . Каждому подынтервалу присвоим порядковый номер v, т.е. введем обозначение . Соответственно v-й исход проверки обозначим через , определив его как событие . Тогда проверку можем формально представить как отображение, действующее по правилу

где — подмножество, содержащее только те из ТС , которым соответствуют пересекающиеся интервалы , т.е.

(1)

Обозначим через вероятность v-го исхода проверки признака в ФС , т.е. вероятность попадания измеренного значения в подынтервал . Эта вероятность вычисляется по формулам:

(2)

(3)

В формуле (2) знаком обозначена длина соответствующего подынтервала.

Таким образом, если в результате выполнения проверки признака измеренное значение попадает в подынтервал , значит процесс диагностирования находится в ФС .

Однако из-за ограниченной точности контрольно-измерительной аппаратуры, помех и ошибок при выполнении проверки может оказаться, что измерительное устройство зарегистрирует попадание измеренного значения в подынтервал , когда фактически оно принадлежит подынтервалу . В этом случае будет зафиксировано ФС , т.е. произойдет ошибка.

Обозначим через условную вероятность того, что в результате выполнения проверки в ФС R_k будет зафиксировано ФС процесса диагностирования , в то время как измеренное значение находится в подынтервале , т.е.

. (4)

Условную вероятность того, что в результате проверки будет зафиксировано ФС процесса диагностирования , в то время как фактически принадлежит подынтервалу , обозначим через , т.е.

(5)

Вероятность назовем достоверностью исхода , а вероятность — вероятностью ошибочного решения при выполнении проверки в ФС R_k .

. (6)

Введем понятие безусловной вероятности ошибочного решения при выполнении проверки . Обозначим эту вероятность . Она связана с условной вероятностью соотношением

. (7)

Для определения вероятностей можно воспользоваться специальными номограммами [2], устанавливающими зависимость вероятностей от точностных характеристик измерительных устройств (датчиков) и допусков на параметры. Такие номограммы разработаны для различных законов распределения случайных величин параметров и погрешностей измерения. Входными данными для составления таких номограмм являются: длина , подынтервала, в пределах которого находится измеренное значение в ФС , максимальное значение погрешности j-го датчика и среднее квадратическое отклонение этой погрешности. Значения определяются по экспериментальным данным, а значения и известны из паспортных данных на конкретный используемый датчик. По этим данным вычисляются относительная погрешность j-го датчика

(8)

и относительная погрешность измерения значения в ФС с учетом симметричности подынтервала , т.е.

. (9)

Номограммы [2] устанавливают зависимость между вычисленными переменными , и .

Пусть в результате выполнения проверки измеренное значение принадлежит подынтервалу . Обозначим через гипотезу, заключающуюся в выполнении этого события. Все ошибочные гипотезы сведем к двум — и . Гипотеза означает ошибочное решение о принадлежности подынтервалу , а гипотеза — ошибочное решение о принадлежности подынтервалу . Отметим, что в случае, когда (или ), гипотеза (или ) из рассмотрения исключается.

Рассмотрим гипотезу попарно с гипотезами и . Если выполняется условие

(10)

, (11)

то гипотезу будем считать основной, а гипотезу или конкурирующей. В противном случае, если эти условия не выполняются, в качестве основной будем считать гипотезы или соответственно.

Вычислим по формуле (9) относительную погрешность измерения в ФС и, задавшись значением , определим по номограммам безусловные вероятности ошибок и :

;.

;.

,где

; .

Теперь по формуле (6) определим достоверность v-го исхода проверки .

Аналогичным образом рассмотрим все исходы проверки и для каждого из них определим достоверность .

Достоверность же проверки , выполненной в ФС R_k, определим, воспользовавшись взвешенной суммой достоверностей ее исходов, где в качестве весовых коэффициентов выступают вероятности этих исходов

. (12)

Значения вероятностей (12) можно использовать для составления гибких программ диагностирования технического состояния объектов по критерию максимума достоверности в случае применения непрерывных величин в качестве диагностических признаков.

1. Дмитриев А.К., Мальцев П.А. Основы теории построения и контроля сложных систем.— Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1988.— 192 с.